2018浙江提前招生数学模拟试题一

一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若集合a={1，2，3}，b={（x，y）|x+y﹣4＞0，x，y∈a}，则集合b中的元素个数为（　　）

a．9 b．6 c．4 d．3

2．复数z满足z•（2﹣i）=3﹣4i（其中i为虚数单位），则复数||=（　　）

a． b．2 c． d．

3．已知数列{an}中的任意一项都为正实数，且对任意m，n∈n*，有am•an=am+n，如果a10=32，则a1的值为（　　）

a．﹣2 b．2 c． d．

4．已知函数f（x）=ln|x|，g（x）=﹣x2+3，则f（x）•g（x）的图象为（　　）

a． b． c． d．

5．随机变量x的分布列如下表，且e（x）=2，则d（2x﹣3）=（　　）

x	0	2	a
p		p

a．2 b．3 c．4 d．5

6．设函数f（x）=（x﹣a）|x﹣a|+b，a，b∈r，则下列叙述中，正确的序号是（　　）

①对任意实数a，b，函数y=f（x）在r上是单调函数；

②对任意实数a，b，函数y=f（x）在r上都不是单调函数；

③对任意实数a，b，函数y=f（x）的图象都是中心对称图象；

④存在实数a，b，使得函数y=f（x）的图象不是中心对称图象．

a．①③ b．②③ c．①④ d．③④

7．已知xy=1，且，则的最小值为（　　）

a．4 b． c．2 d．4

8．将函数f（x）=cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则f（）不可能等于（　　）

a．0 b．1 c． d．

9．已知a，b，c是抛物线y2=4x上不同的三点，且ab∥y轴，∠acb=90°，点c在ab边上的射影为d，则|ad|•|bd|=（　　）

a．16 b．8 c．4 d．2

10．已知不等式ln（x+1）﹣1≤ax+b对一切x＞﹣1都成立，则的最小值是（　　）

a．e﹣1 b．e c．1﹣e﹣3 d．1

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

11．设，为单位向量，其中=2+， =，且在上的投影为2，则•=　   　，与的夹角为　   　．

12．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离心率为　   　，如果双曲线上存在一点p到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为　   　．

13．某四面体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，正视图是边长为2的正方形，则此四面体的体积为　   　，表面积为　   　．

14．设等差数列{an}的前n项和为sn，若s6＞s7＞s5，则an＞0的最大n=　   　，满足sksk+1＜0的正整数k=　   　．

15．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有　   　种．

16．在△abc中，∠acb为钝角，ac=bc=1，且x+y=1，函数的最小值为，则的最小值为　   　．

17．已知点p是平面区域m：内的任意一点，p到平面区域m的边界的距离之和的取值范围为　   　．

三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．已知，

（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；

（2）设△abc的内角a满足f（a）=2，而，求边bc的最小值．

19．如图，在三棱锥s﹣abc中，sa⊥底面abc，ac=ab=sa=2，ac⊥ab，d，e分别是ac，bc的中点，f在se上，且sf=2fe．

（1）求证：af⊥平面sbc；

（2）在线段上de上是否存在点g，使二面角g﹣af﹣e的大小为30°？若存在，求出dg的长；若不存在，请说明理由．

20．已知函数

（1）设a＞1，试讨论f（x）单调性；

（2）设g（x）=x2﹣2bx+4，当时，任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．

21．如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为（，0），（1，）是椭圆上的一个点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的上、下顶点分别为a，b，p（x0，y0）（x0≠0）是椭圆上异于a，b的任意一点，pq⊥y轴，q为垂足，m为线段pq中点，直线am交直线l：y=﹣1于点c，n为线段bc的中点，如果△mon的面积为，求y0的值．

22．已知数列{an}满足：a1=1，an+1﹣ansin2θ=sin2θ•cos2nθ．

（ⅰ）当θ=时，求数列{an}的通项公式；

（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若数列{bn}满足bn=sin，sn为数列{bn}的前n项和，求证：对任意n∈n*，sn＜3+．

2017年浙江省嘉兴一中高考数学适应性试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若集合a={1，2，3}，b={（x，y）|x+y﹣4＞0，x，y∈a}，则集合b中的元素个数为（　　）

a．9 b．6 c．4 d．3

【考点】15：集合的表示法．

【分析】通过列举可得x，y∈a的数对共9对，再寻找符合题意的（x，y），即为集合b中的元素个数．

【解答】解：通过列举，可知x，y∈a的数对共9对，

即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种，

∵b={（x，y）|x+y﹣4＞0，x，y∈a}，

∴易得（2，3），（3，2），（3，3）满足x+y﹣4＞0，

∴集合b中的元素个数共3个．

故选：d．

2．复数z满足z•（2﹣i）=3﹣4i（其中i为虚数单位），则复数||=（　　）

a． b．2 c． d．

【考点】a8：复数求模；a5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则化简z，再利用模的计算公式即可得出．

【解答】解：复数z满足z•（2﹣i）=3﹣4i（其中i为虚数单位），

∴z•（2﹣i）（2+i）=（3﹣4i）（2+i），化为：5z=10﹣5i，可得z=2﹣i．　

则复数||===|﹣1﹣2i|=|1+2i|==．

故选：d．

3．已知数列{an}中的任意一项都为正实数，且对任意m，n∈n*，有am•an=am+n，如果a10=32，则a1的值为（　　）

a．﹣2 b．2 c． d．

【考点】88：等比数列的通项公式．

【分析】令m=1，得，从而，由此能求出a1的值．

【解答】解：∵数列{an}中的任意一项都为正实数，且对任意m，n∈n*，有am•an=am+n，

∴令m=1，则，

∴数列{an}是以a1为首项，公比为a1的等比数列，

∴，

∵a10=512，∴．

故选：c．

4．已知函数f（x）=ln|x|，g（x）=﹣x2+3，则f（x）•g（x）的图象为（　　）

a． b． c． d．

【考点】3o：函数的图象．

【分析】根据f（x）•g（x）为偶函数，排除a，d，根据函数的变化趋势，排除b．

【解答】解：f（x）=ln|x|，g（x）=﹣x2+3，则f（x）•g（x）=ln|x|•（﹣x2+3），

∴f（﹣x）•g（﹣x）=ln|﹣x|•（﹣（﹣x）2+3）=ln|x|•（﹣x2+3）=f（x）•g（x），

∴f（x）•g（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，排除a，d，

当x→+∞时，f（x）→+∞，g（x）→﹣∞，

∴f（x）•g（x）→﹣∞，排除b．

故选：c

5．随机变量x的分布列如下表，且e（x）=2，则d（2x﹣3）=（　　）

x	0	2	a
p		p

a．2 b．3 c．4 d．5

【考点】ch：离散型随机变量的期望与方差．

【分析】利用分布列求出p，利用期望求解a，然后求解方差即可．

【解答】解：由题意可得： +p+=1，解得p=，

因为e（x）=2，所以：，解得a=3．

d（x）=（0﹣2）2×+（2﹣2）2×+（3﹣2）2×=1．

d（2x﹣3）=4d（x）=4．

故选：c．

6．设函数f（x）=（x﹣a）|x﹣a|+b，a，b∈r，则下列叙述中，正确的序号是（　　）

①对任意实数a，b，函数y=f（x）在r上是单调函数；

②对任意实数a，b，函数y=f（x）在r上都不是单调函数；

③对任意实数a，b，函数y=f（x）的图象都是中心对称图象；

④存在实数a，b，使得函数y=f（x）的图象不是中心对称图象．

a．①③ b．②③ c．①④ d．③④

【考点】3o：函数的图象．

【分析】可先考虑函数g（x）=x|x|的单调性和图象的对称性，然后考虑将函数g（x）的图象左右平移和上下平移，得到函数f（x）=（x﹣a）|x﹣a|+b的图象，观察它的上升还是下降和对称性．

【解答】解：设函数g（x）=x|x|即g（x）=，作出g（x）的图象，得出g（x）在r上是单调增函数，且图象关于原点对称，

而f（x）=（x﹣a）|x﹣a|+b的图象可由函数y=g（x）的图象先向左（a＜0）或向右（a＞0）平移|a|个单位，

再向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位得到．

所以对任意的实数a，b，都有f（x）在r上是单调增函数，且图象关于点（a，b）对称．

故选：a

7．已知xy=1，且，则的最小值为（　　）

a．4 b． c．2 d．4

【考点】7g：基本不等式在最值问题中的应用．

【分析】判断x﹣2y＞0．化简所求的表达式，利用基本不等式求解最小值即可．

【解答】解：xy=1且，可知，所以x﹣2y＞0．

，

当且仅当时等号成立．

则的最小值为：4．

故选：a．

8．将函数f（x）=cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则f（）不可能等于（　　）

a．0 b．1 c． d．

【考点】hj：函数y=asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，可求ω=6k（k∈n*），利用特殊角的三角函数值即可得解．

【解答】解：由题意，

所以ω=6k（k∈n*），

因此f（x）=cos6kx，

从而，

可知不可能等于．

故选：d．

9．已知a，b，c是抛物线y2=4x上不同的三点，且ab∥y轴，∠acb=90°，点c在ab边上的射影为d，则|ad|•|bd|=（　　）

a．16 b．8 c．4 d．2

【考点】k8：抛物线的简单性质．

【分析】设出a，b，c三点坐标，求出，根据∠acb=90°列方程得出三点横坐标的关系得出|cd|，利用相似三角形得出|ad|•|bd|=|cd|2．

【解答】解：设a（4t2，4t），b（4t2，﹣4t），c（4m2，4m），

∴=（4t2﹣4m2，4t﹣4m），=（4t2﹣4m2，﹣4t﹣4m）．

∵∠acb=90°，∴．

∴16（t2﹣m2）2﹣16（t2﹣m2）=0，∴m2﹣t2=﹣1或m2﹣t2=0（舍）．

∴|cd|=4|t2﹣m2|=4，

在rt△abc中，∵cd⊥ab，

∴△acd∽△cbd，

∴，

∴|ad|•|bd|=|cd|2=16．

故选：a．

10．已知不等式ln（x+1）﹣1≤ax+b对一切x＞﹣1都成立，则的最小值是（　　）

a．e﹣1 b．e c．1﹣e﹣3 d．1

【考点】6k：导数在最大值、最小值问题中的应用；3r：函数恒成立问题．

【分析】令y=ln（x+1）﹣ax﹣b﹣1，求出导数，分类讨论，进而得到b≥﹣lna+a+2，可得≥，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到的最小值．

【解答】解：令y=ln（x+1）﹣ax﹣b﹣1，则y′=﹣a，

若a≤0，则y′＞0恒成立，x＞﹣1时函数递增，无最值．

若a＞0，由y′=0得：x=，

当﹣1＜x＜时，y′＞0，函数递增；

当x＞时，y′＜0，函数递减．

则x=处取得极大值，也为最大值﹣lna+a﹣b﹣2，

∴﹣lna+a﹣b+2≤0，

∴b≥﹣lna+a+2，

∴≥，令t=，

∴t′=，

∴（0，e3）上，t′＜0，（e3，+∞）上，t′＞0，

∴a=e3，tmin=1﹣e﹣3．

∴的最小值为1﹣e﹣3．

故选：c．

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

11．设，为单位向量，其中=2+， =，且在上的投影为2，则•=　2　，与的夹角为　　．

【考点】9r：平面向量数量积的运算．

【分析】根据向量投影的定义以及向量数量积和夹角的关系进行求解即可．

【解答】解：设，为夹角为θ，

则∵在上的投影为2，

∴==2•+||2=2||•||cosθ+1=2，

解得，

则．

•=（2+）•=2•+||2=2||•||cosθ+12，

故答案为：2，．

12．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离心率为　2　，如果双曲线上存在一点p到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为　　．

【考点】kc：双曲线的简单性质．

【分析】根据右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，得到c=2a，根据p到双曲线的左右焦点的距离之差为4，得到2a=4，然后进行求解即可．

【解答】解：∵右焦点到渐近线的距离为b，若右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，

∴b=•2c=c，

平方得b2=c2=c2﹣a2，

即a2=c2，

则c=2a，则离心率e=，

∵双曲线上存在一点p到双曲线的左右焦点的距离之差为4，

∴2a=4，则a=2，

从而．

故答案为：2，

13．某四面体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，正视图是边长为2的正方形，则此四面体的体积为　　，表面积为　2+2　．

【考点】l!：由三视图求面积、体积．

【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积．

【解答】解：由三视图可知几何体是三棱锥，如图：

是正方体内的三棱锥，ad=dc=2，ab=bc=ac=2，bd=2，

几何体的体积是=，

表面积为： =2+2．

故答案为：；2+2

14．设等差数列{an}的前n项和为sn，若s6＞s7＞s5，则an＞0的最大n=　6　，满足sksk+1＜0的正整数k=　12　．

【考点】85：等差数列的前n项和．

【分析】依题意a6=s6﹣s5＞0，a7=s7﹣s6＜0，a6+a7=s7﹣s5＞0，从而得到s12s13＜0，由此能救济出满足sksk+1＜0的正整数k的值．

【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为sn，若s6＞s7＞s5，

∴依题意a6=s6﹣s5＞0，a7=s7﹣s6＜0，a6+a7=s7﹣s5＞0，

∴an＞0的最大n=6．

∴=11a6＞0，

，

，

∴s12s13＜0，即满足sksk+1＜0的正整数k=12．

故答案为：6，12．

15．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有　40　种．

【考点】d8：排列、组合的实际应用．

【分析】根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中有6个空位符合条件，考虑顺序，将3人插入6个空位中，注意甲必须在三人中间，由倍分法分析可得答案．

【解答】解：先排7个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，

考虑三人的顺序，将3人插入6个空位中，则共有1×a63=120种情况，

由于甲必须坐在三人中间，则有符合要求的坐法有×120=40种；

故答案为：40．

16．在△abc中，∠acb为钝角，ac=bc=1，且x+y=1，函数的最小值为，则的最小值为　　．

【考点】9b：向量加减混合运算及其几何意义．

【分析】在△abc中，∠acb为钝角，ac=bc=1，函数f（m）的最小值为．利用数量积的性质可得∠acb，进而再利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出．

【解答】解：在△abc中，∠acb为钝角，ac=bc=1，函数f（m）的最小值为．

∴函数==，

化为4m2﹣8mcos∠acb+1≥0恒成立．

当且仅当m==cos∠acb时等号成立，代入得到，∴．

∴===x2+（1﹣x）2﹣x（1﹣x）=，

当且仅当x==y时，取得最小值，

∴的最小值为．

故答案为：．

17．已知点p是平面区域m：内的任意一点，p到平面区域m的边界的距离之和的取值范围为　[]　．

【考点】7c：简单线性规划．

【分析】设出p点坐标，得到p到可行域三边距离，由表达式看出，当a，b同时取得最小值0时，p到平面区域m的边界的距离之和有最小值；在数形结合得到动点在线段ab上时p到平面区域m的边界的距离之和有最大值，进一步转化为一次函数求得最大值．

【解答】解：设p（a，b）（a≥0，b≥0，），

则p到三角形三边距离之和为l=|a|+|b|+

==．

∴当a=b=0时，l有最小值为；

由图可知，在可行域内取点p，过p作pe⊥x轴，过p作pf⊥y轴，作pp′⊥ab于p′，

过p′作p′g⊥x轴于g，作p′作p′h⊥y轴于h，

则有pe+pf+pp′≤p′g+p′h，

由a≥0，b≥0，，

得a+b=a+=（1﹣）a+．

∴当a=0时，．

∴p到平面区域m的边界的距离之和的取值范围为[]．

故答案为：[]．

三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．已知，

（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；

（2）设△abc的内角a满足f（a）=2，而，求边bc的最小值．

【考点】h5：正弦函数的单调性；hs：余弦定理的应用．

【分析】利用和差角及二倍角公式对函数化简可得

（1）令，解不等式可得答案，

（2）由f（a）=及0＜a＜π可得，由，利用向量数量积的定义可得，bc=2，利用余弦定理可得可得又△abc中

=，从而可求

【解答】解：（1）=

由得，

故所求单调递增区间为．

（2）由得，

∵，即，∴bc=2，

又△abc中， =，

∴

19．如图，在三棱锥s﹣abc中，sa⊥底面abc，ac=ab=sa=2，ac⊥ab，d，e分别是ac，bc的中点，f在se上，且sf=2fe．

（1）求证：af⊥平面sbc；

（2）在线段上de上是否存在点g，使二面角g﹣af﹣e的大小为30°？若存在，求出dg的长；若不存在，请说明理由．

【考点】mt：二面角的平面角及求法；lw：直线与平面垂直的判定．

【分析】（1）通过证明af与平面sbc内的两条相交直线垂直即可；

（2）抓住两点找到问题的求解方向：一是点g的预设位置，二是二面角g﹣af﹣e的位置，计算即可．

【解答】（1）证明：由ac=ab=sa=2，ac⊥ab，e是bc的中点，得．

因为sa⊥底面abc，所以sa⊥ae．

在rt△sae中，，所以．

因此ae2=ef•se，又因为∠aef=∠aes，

所以△efa∽△eas，

则∠afe=∠sae=90°，即af⊥se．

因为sa⊥底面abc，所以sa⊥bc，又bc⊥ae，

所以bc⊥底面sae，则bc⊥af．

又se∩bc=e，所以af⊥平面sbc．

（2）结论：在线段上de上存在点g使二面角g﹣af﹣e的大小为30°，此时dg=．

理由如下：

假设满足条件的点g存在，并设dg=t．

过点g作gm⊥ae交ae于点m，

又由sa⊥gm，ae∩sa=a，得gm⊥平面sae．

作mn⊥af交af于点n，连结ng，则af⊥ng．

于是∠gnm为二面角g﹣af﹣e的平面角，

即∠gnm=30°，由此可得．  

由mn∥ef，得，

于是有，．

在rt△gmn中，mg=mntan30°，

即，解得．

于是满足条件的点g存在，且．

20．已知函数

（1）设a＞1，试讨论f（x）单调性；

（2）设g（x）=x2﹣2bx+4，当时，任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．

【考点】6b：利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）根据函数的单调性得到f（x1）≥f（1）=﹣，问题转化为存在x2∈[1，2]，使得，分离参数即得到在x∈[1，2]时有解，求出b的范围即可．

【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

=，

令f'（x）=0，则x1=1，（a＞1，x2＜0）舍去．

令f'（x）＞0，则x＞1，令f'（x）＜0，则0＜x＜1，

所以当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递增；当x∈（0，1）时，函数f（x）单调递减；

（2）当时，

由（1）可知f'（x）=0的两根分别为x1=1，

令f'（x）＞0，则0＜x＜1或x＞3，令f'（x）＜0，则1＜x＜3

可知函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，

所以对任意的x1∈（0，2），有，

由条件知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），

所以即存在x2∈[1，2]，使得，

分离参数即得到在x∈[1，2]时有解，

由于（x∈[1，2]）为减函数，故其最小值为，

从而，所以实数b的取值范围是．

21．如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为（，0），（1，）是椭圆上的一个点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的上、下顶点分别为a，b，p（x0，y0）（x0≠0）是椭圆上异于a，b的任意一点，pq⊥y轴，q为垂足，m为线段pq中点，直线am交直线l：y=﹣1于点c，n为线段bc的中点，如果△mon的面积为，求y0的值．

【考点】k4：椭圆的简单性质．

【分析】（1）确定，利用是椭圆上的一个点，代入求出a，即可求椭圆的标准方程；

（2）求出m，n的坐标，利用平面向量的数量积判断om⊥mn，利用△mon的面积为，建立方程，即可求y0的值．

【解答】解：（1）设椭圆方程为，由题意，得．

因为a2﹣c2=b2，所以b2=a2﹣3．

又是椭圆上的一个点，所以，解得a2=4或（舍去），

从而椭圆的标准方程为．

（2）因为p（x0，y0），x0≠0，则q（0，y0），且．

因为m为线段pq中点，所以．

又a（0，1），所以直线am的方程为．

因为x0≠0，∴y0≠1，令y=﹣1，得．

又b（0，﹣1），n为线段bc的中点，有．

所以．

因此，

=．从而om⊥mn．

因为，，

所以在rt△mon中，，因此．

从而有，解得．

22．已知数列{an}满足：a1=1，an+1﹣ansin2θ=sin2θ•cos2nθ．

（ⅰ）当θ=时，求数列{an}的通项公式；

（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若数列{bn}满足bn=sin，sn为数列{bn}的前n项和，求证：对任意n∈n*，sn＜3+．

【考点】8e：数列的求和；8h：数列递推式．

【分析】（1）当时，，，利用等差数列的通项公式即可得出；

（2）由（1）可得：an=，可得，可得当n=1，2，3时，不等式成立；当n≥4时，由于，利用“错位相减法”、等比数列的前n项函数公式即可得出．

【解答】（1）解：当时，，，

∴{2n﹣1an}是以1为首项、1为公差的等差数列，2n﹣1an=n，

从而．

（2）证明：，

∴当n=1，2，3时，；

当n≥4时，∵，，

令，

两式相减得，

．

综上所述，对任意．