2018年江苏提前招生数学模拟试题【含答案】
参考公式：1.柱体的体积公式：
，其中
是柱体的底面面积，
是高.
2.圆锥的侧面积公式：
，其中
是圆锥底面的周长，
是母线长.
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.
1. 已知集合
，则
___________．
【答案】
【解析】集合
， 
则
故答案为：
.
2. 已知复数
（
为虚数单位），则
的模为___________．
【答案】1
【解析】
，所以
。
3. 函数
的定义域为__________．
【答案】
【解析】
，解得定义域为。
4. 如图是一个算法的伪代码，运行后输出
的值为___________．
【答案】13
【解析】根据题意得到：a=0,b=1,i=2
a=1,b=2,i=4,
a=3,b=5,i=6,
a=8,b=13,i=8
不满足条件，故得到此时输出的b值为13.
故答案为：13.
5. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在
内的学生共有__________人．
【答案】750
【解析】因为
，得
，
所以
。
6. 在平面直角坐标系
中，已知双曲线
的一条渐近线方程为
，则该双曲线的离心率为____________．
【答案】
【解析】
，所以
，得离心率
。
7. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为___________．
【答案】
【解析】总事件数为
，
目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有
，共8种；
当第一颗骰子为3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有
种；
所以目标事件共20中，所以
。
8. 已知正四棱柱的底面边长为
，侧面的对角线长是
，则这个正四棱柱的体积是_________
【答案】54
【解析】aa设正四棱柱的高为h得到
故得到正四棱柱的体积为
故答案为：54.
9. 若函数
的图象与直线
的三个相邻交点的横坐标分别是
，则实数
的值为__________．
【答案】4
【解析】函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，故得到函数的周期为：
，故得到
故答案为：4.
10. 在平面直角坐标系中，曲线
上任意一点
到直线
的距离的最小值为__________．
【答案】
【解析】
，所以
，得
，由图象对称性，取点
，
所以
。
11. 已知等差数列
满足
，则
的值为___________．
【答案】11
【解析】等差数列满足
,
故答案为：11.
12. 在平面直角坐标系中，若圆
上存在点，且点关于直线
的对称点
在圆
上，则
的取值范围是__________．
【答案】
故答案为：
.
13. 已知函数
，函数
，则不等式
的解集为_______.
【答案】
【解析】因为
，
，故
是偶函数，
故 
可画出的图像，
令
故解集为
.
故答案为：.
14. 如图，在
中，已知
为边
的中点.若
，垂足为
，则
的值为____________.
【答案】
【解析】根据平面向量基本定理得到 
设ea=x,
，两边平方得到ad
，在三角形abc中用余弦定理得到bc=
，在三角形ace和cde中分别应用勾股定理，得到x=
.
故答案为：
点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。
第ⅱ卷（共90分）
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.
15. 在中，角
所对的边分别为
，且
.
（1）求
的值；
（2）若
，求的面积.
【答案】（1）3（2）78
【解析】试题分析：（1）由两角和差公式得到
，由三角形中的数值关系得到
，进而求得数值；（2）由三角形的三个角的关系得到
，再由正弦定理得到b=15,故面积公式为
.
解析：
（1）在
中，由
，得
为锐角，所以
，
所以，
所以.
（2）在三角形
中,由
，
所以
， 由
，
由正弦定理
,得
，
所以的面积
.
16. 如图，在直三棱柱
中，
分别是
的中点．
求证：（1）
平面
；
（2）
.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）证明线面平行，可先证线线平行，构造平行四边形
得到
，故平面；（2）证明线线垂直，可先证线面垂直，
面，所以
，即
，又因为
，故
面
，进而得到线线垂直.
解析：
（1）证明：取
的中点，连结
因为
分别是
的中点，
所以
且
在直三棱柱
中，
，
，
又因为
是
的中点，
所以
且
.
所以四边形是平行四边形，
所以，
而
平面，
平面，
所以平面.
（2）证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以
面
，
又因为
面，
所以面
面，
又因为
，所以
，
面
面
，
，
所以面，
又因为
面，
所以，即，
连结
，因为在平行四边形中，
，
所以，
又因为
，且，
面，
所以面，
而
面，
所以
.
17. 某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆
及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线
旋转180°而成，如图2.已知圆的半径为
，设
，圆锥的侧面积为
.
（1）求关于
的函数关系式；
（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.
【答案】（1） 
，
（2）侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为
【解析】试题分析：（1）由条件，
，
，所以s，；（2）
令
，所以得
，通过求导分析，得
在
时取得极大值，也是最大值。
试题解析：
（1）设
交于点
，过
作
，垂足为，
在
中，
，
，
在
中，
，
所以s，
（2）要使侧面积最大，由（1）得：
令，所以得，
由
得：
当
时，
，当
时，
所以在区间上单调递增，在区间
上单调递减，
所以在时取得极大值，也是最大值；
所以当
时，侧面积取得最大值，
此时等腰三角形的腰长
答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．
18. 如图，在平面直角坐标系，已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
为椭圆的右焦点，
为椭圆上关于原点对称的两点，连接
分别交椭圆于
两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
，求
的值；
（3）设直线
的斜率分别为
，是否存在实数
，使得
，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在
，使得
【解析】试题分析：（1）；（2）由椭圆对称性，知
，所以
，此时直线
方程为
，故
． （3）设
，则
，通过直线和椭圆方程，解得
，
，所以
，即存在。
试题解析：
（1）设椭圆方程为，由题意知：
解之得：
，所以椭圆方程为：
（2）若，由椭圆对称性，知，所以，
此时直线方程为，
由
，得
，解得
（
舍去），
故．
（3）设，则，
直线
的方程为
，代入椭圆方程，得
，
因为
是该方程的一个解，所以
点的横坐标
，
又
在直线上，所以
，
同理，点坐标为
，，
所以，
即存在，使得．
19. 已知函数
.
（1）当
时，求函数
的极值；
（2）若存在与函数
的图象都相切的直线，求实数
的取值范围.
【答案】（1）当
时，函数
取得极小值为
，无极大值；（2）
【解析】试题分析：（1）对函数
求导研究单调性，进而得到极值；（2）问题转化为
有解求参数的范围，对函数求导研究函数的单调性，进而得到函数的图像，从而得到参数范围.
解析：
（1）函数的定义域为
当时，
，
所以
所以当
时，
，当
时，
，
所以函数在区间
单调递减，在区间
单调递增，
所以当时，函数取得极小值为，无极大值；
（2）设函数上点
与函数上点
处切线相同，
则
所以
所以
，代入
得：
设，则
不妨设
则当
时，
，当
时，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
代入
可得：
设
，则
对
恒成立，
所以
在区间上单调递增，又
所以当
时
，即当
时
,
又当
时
因此当时，函数必有零点；即当时，必存在
使得
成立；
即存在
使得函数上点与函数上点处切线相同．
又由
得：
所以
单调递减，因此
所以实数的取值范围是
．
点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．
20. 已知数列，其前
项和为
，满足
，其中
，
.
（1）若
，求证：数列
是等比数列；
（2）若数列是等比数列，求
的值；
（3）若
，且
，求证：数列是等差数列.
【答案】（1）见解析（2）
（3）见解析
【解析】试题分析：（1）根据题意得到
，即
，所以
，故数列是等比数列；（2）
是等比数列，设其公比为
，根据
，
，
，可构造方程进而求得参数值；（3）先求得
，由
，得
，两式相减得：
，化简得到
，再由迭代的方法得到数列
进而证得数列是等差数列.
解析：
（1）证明：若
，则当
(
),
所以
，
即，
所以，
又由
，
，
得
，
，即
，
所以
，
故数列
是等比数列．
（2）若是等比数列，设其公比为（
），
当
时，
，即，得
， ①
当
时，
，即，得
， ②
当
时，
，即，得
， ③
②①，得
，
③②，得
，
解得
．
代入①式，得
．此时
()，
所以
，是公比为１的等比数列，
故．
（3）证明：若，由，得
，
又，解得．
由，， 
，
，代入
得
，
所以
，
，
成等差数列，
由，得，
两式相减得：
即
所以
相减得：
所以
所以
，
因为
，所以，
即数列是等差数列
