2018年上海高职自主招生数学模拟试题【含答案】　

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）

1．已知集合a={1，2，5}，b={2，a}，若a∪b={1，2，3，5}，则a= ．

2．抛物线y2=4x的焦点坐标为 ．

3．不等式＜0的解是 ．

4．若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z= ．

5．在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是 ．（用数字作答）

6．若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．

7．（5分）若函数f（x）=xa的反函数的图象经过点（，），则a= ．

8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为 cm2．

9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a= ．

10．（5分）若无穷等比数列{an}的各项和为sn，首项 a1=1，公比为a﹣，且 sn=a，则a= ．

11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）

12．（5分）在abc中，bc边上的中垂线分别交bc，ac于点d，e．若•=6，||=2，则ac= ．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（　　）

a． b． c． d．

14．（5分）设a，b∈r，若a＞b，则（　　）

a．＜ b．lga＞lgb c．sin a＞sin b d．2a＞2b

15．（5分）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为sn，则“d＞0”是“s4+s6＞2s5”的（　　）

a．充分不必要条件 b．必要不充分条件

c．充分必要条件 d．既不充分也不必要条件

16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于a，b两点，设p为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈r，o为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（　　）

a．a2+b2≥1 b．|ab|≥1 c．|a+b|≥1 d．|a﹣b|≥2

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17．（14分）如图，长方体abcd﹣a1b1c1d1中，ab=bc=2，a1c与底面abcd所成的角为60°，

（1）求四棱锥a1﹣abcd的体积；

（2）求异面直线a1b与 b1d1所成角的大小．

18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．

（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；

（2）在△abc 中，a，b，c分别是角 a，b，c所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．

19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第 n （n∈n*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．

（1）试求 f （n）的表达式；

（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．

20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆c：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是f1，f2，直线l：y=kx+m（k，m∈r）与椭圆交于a，b两点．

（1）若m为椭圆短轴上的一个顶点，且△mf1f2是直角三角形，求a的值；

（2）若k=1，且△oab是以o为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；

（3）若a=2，且koa•kob=﹣，求证：△oab的面积为定值．

21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域d内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成

立，则称函数f（x）在其定义域 d上是“k﹣利普希兹条件函数”．

（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；

（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；

（3）若y=f（x）（x∈r ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．

2018年上海高职自主招生数学模拟试题参考答案

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17．解：（1）∵长方体abcd﹣a1b1c1d1中，ab=bc=2，

∴aa1⊥平面abcd，ac==2，

∴∠a1ca是a1c与底面abcd所成的角，

∵a1c与底面abcd所成的角为60°，

∴∠a1ca=60°，∴aa1=ac•tan60°=2•=2，

∵s正方形abcd=ab×bc=2×2=4，

∴四棱锥a1﹣abcd的体积：

v===．

（2）∵bd∥b1d1，

∴∠a1bd是异面直线a1b与b1d1所成角（或所成角的补角）．

∵bd=，a1d=a1b==2，

∴cos∠a1bd===．

∴∠a1bd=arccos．

∴异面直线a1b与 b1d1所成角是arccos．

18．解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）

（1）当2x+=时，即x=（k∈z），f（x）取得最大值为2；

（2）由f（）=，即2sin（a+）=

可得sin（a+）=

∵0＜a＜π

∴＜a＜

∴a=或

∴a=或

当a=时，cosa==

∵a=，b=，

解得：c=4

当a=时，cosa==0

∵a=，b=，

解得：c=2．

19．解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈n*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），

第1年至此后第n（n∈n*）年的累计净收入为+×+×+…+×

=（千万元）．

∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．

（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，

∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；

当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．

又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．

∴该项目将从第8年开始并持续赢利．

答：该项目将从2023年开始并持续赢利；

方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，

令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．

从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；

当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．

又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．

∴该项目将从第8年开始并持续赢利．

答：该项目将从2023年开始并持续赢利．

20．解：（1）∵m为椭圆短轴上的一个顶点，且△mf1f2是直角三角形，

∴△mf1f2为等腰直角三角形，

∴of1=om，

当a＞1时，=1，解得a=，

当0＜a＜1时，=a，解得a=，

（2）当k=1时，y=x+m，设a（x1，y1），（x2，y2），

由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，

∴x1+x2=﹣，x1x2=，

∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，

∵△oab是以o为直角顶点的直角三角形，

∴•=0，

∴x1x2+y1y2=0，

∴+=0，

∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0

∴m2（a2+1）=2a2，

（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，

设a（x1，y1），（x2，y2），

∵koa•kob=﹣，

∴•=﹣，

∴x1x2=﹣4y1y2，

由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．

∴x1+x2=，x1x2=，

∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2

=++m2=，

∴=﹣4×，

∴2m2﹣4k2=1，

∴|ab|=•=•

=2•=

∵o到直线y=kx+m的距离d==，

∴s△oab=|ab|d==•==1

21．解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，

不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．

∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，

∴k的最小值为 ．

（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），

令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，

而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，

∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．

证明：（3）设f（x）的最大值为m，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=m，f（b）=m，

则|f（x1）﹣f（x2）|≤m﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．

若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．

若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，

∴|f（x1）﹣f（x2）|≤m﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．

综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．