2018年吉林单招数学（理科）模拟试题一【含答案】

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设为虚数单位，则（ ）

a． b． c．5 d．-5

2．集合的子集的个数为（ ）

a．4 b．7 c．8 d．16

3．右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：

①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；

②二班成绩不够稳定，波动程度较大；

③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．

其中正确结论的个数为（ ）

a．0 b．1 c．2 d．3

4．等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（ ）

a．6 b．7 c．8 d．9

5．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（ ）

a．95，94 b．92，86 c．99，86 d．95，91

6．若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ）

a． b．

c． d．

7．已知，且，则的最小值为（ ）

a．8 b．9 c．12 d．16

8．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）

a．4立方丈 b．5立方丈 c． 6立方丈 d．12立方丈

9．已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，，且四棱锥的体积为，则等于（ ）

a．4 b． c． d．

10．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）

a．求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和

b．求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和

c．求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和

d．求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和

11．已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（ ）

a．1 b．2 c． 4 d．

12．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（ ）

a． b． c．  d．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知角满足，，则的取值范围是 ．

14．已知平面内三个不共线向量两两夹角相等，且，，则 ．

15．在中，三个内角的对边分别为，若，且，面积的最大值为 ．

16．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为 ．

三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．已知数列的前项和．

（ⅰ）求数列的通项公式；

（ⅱ）设，求证：．

18．长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：

点击量
节数	6	18	12

（ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．

（ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（ⅰ）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间的分布列与数学期望．

19．如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．

（ⅰ）证明：平面；

（ⅱ）设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．

20．已知椭圆的两个焦点为，且经过点．

（ⅰ）求椭圆的方程；

（ⅱ）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，且，求直线的斜率的取值范围．

21．已知函数，．

（ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；

（ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；

（ⅲ）证明：．

（二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以圆心，3为半径．

（ⅰ）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；

（ⅱ）设直线与圆相交于两点，求．

23．选修4-5：不等式选讲

设不等式的解集为．

（ⅰ）求集合；

（ⅱ）若，求证：．

2018年吉林单招数学（理科）模拟试题一参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.a 2.c 3.d 4.c 5.b 6.d

7.b 8.b 9.a 10.c 11.a 12.d

简答与提示：

1.【命题意图】本题考查复数的运算.

【试题解析】a . 故选a.

2.【命题意图】本题考查集合的子集.

【试题解析】c  集合有3个元素，所以子集个数共有个.故选c.

3.【命题意图】本题考查函数的应用.

【试题解析】d 通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选d.

4.【命题意图】本题考查等差数列及其前项和.

【试题解析】c 由题意知，有，所以当时前项和取最小值.故选c.

5.【命题意图】本题主要考查茎叶图.

【试题解析】b  由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选b.

6.【命题意图】本题主要考查角的终边所在集合问题. 

【试题解析】d 终边落在直线上的角的取值集合为或者.故选d. 

7.【命题意图】本题考查基本不等式的应用.

【试题解析】b ，当且仅当时取等号.故选b.

8.【命题意图】本题考查**传统文化及三视图.

【试题解析】b 由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选b.

9.【命题意图】本题主要考查球的相关知识.

【试题解析】a由题意可知球心到平面abcd的距离 2，矩形abcd所在圆的半径为，从而球的半径.故选a.

10.【命题意图】本题主要考查算法和等差数列的前项和.

【试题解析】c 由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选c.

11.【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.

【试题解析】a 不妨在双曲线右支上取点，延长，交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.故选a.

12.【命题意图】本题是考查函数的奇偶性、周期性和对称性及零点的相关知识.

【试题解析】d 由题意知为奇函数，周期为，其图象关于对称，的零点可视为图象交点的横坐标，由关于对称，从而在上有4个零点关于对称，进而所有零点之和为. 故选d.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.  14.  15.  16. 

简答与提示：

13.【命题意图】本题考查不等式的性质.

【试题解析】由不等式，，则，因此取值范围是.

14.【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.

【试题解析】由题意可知，的夹角为，由可得与反向，且，从而.

15.【命题意图】本题考查解三角形的相关知识.

【试题解析】由题意可知，，得，由余弦定理，由基本不等式，从而面积的最大值为，当且仅当时取到最大值.

16.【命题意图】本题考查圆锥的体积最值问题.

【试题解析】设圆锥的底面圆半径为，有圆锥的高为，从而圆锥的体积为，令，有，令，当时函数为增函数，当时函数为减函数，从而当时体积取最大值.

三、解答题

17.(本小题满分12分)

【命题意图】本题考查数列前项和与通项的应用，还有裂项求和的应用等.

【试题解析】（1）由，则.

当时，，综上.

（2）由.

. 得证.

18. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解，以及分布列的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.

【试题解析】解：（1）根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000.

（2）的可能取值为0，20，40，60

则的分布列为

	0	20	40	60

即 

19.(本小题满分12分)

【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【试题解析】解：（1）连接交于点，连接

在中，

（2），设菱形的边长为

，则.

取中点，连接.

以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，

建立如图所示坐标系.

，，，

，，

，

，

即二面角的余弦值为.

20.(本小题满分12分)

【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.

【试题解析】(1) 由椭圆定义，有，

从而.

(2) 设直线，有，整理得，设，有，，由于，所以，，解得. 21. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，利用导数比较大小等，考查学生解决问题的综合能力.

【试题解析】（1）由题意可知，和在处有相同的切线，

即在处且，

解得.

（2）现证明，设，

令，即，

因此，即恒成立，

即，

同理可证.

由题意，当时，且，

即，

即时，成立.

当时，，即不恒成立.

因此整数的最大值为2. 

（3）由，令，

即，即

由此可知，当时，，

当时，，

当时，，

……

当时，.

综上：.

即.

22. (本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线的参数方程的几何意义等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.

【试题解析】 （ⅰ）直线的参数方程为，

圆的极坐标方程为. 

（ⅱ）把代入，得，

，设点对应的参数分别为，

则,

23. (本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.

【试题解析】（1）由已知，令

由得.

（2）要证，只需证，

只需证，只需证

只需证，由，则恒成立.