第ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合，集合，则（  ）

a.  b.  c.  d. 

【答案】b

【解析】，，，故选b.

2. 设是虚数单位，若，则（  ）

a. -3 b. 3 c. 1 d. -1

【答案】d

【解析】 ，故选d.

3. 函数，的值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（  ）

a.  b.  c.  d. 1

【答案】b

【解析】，即值域，若在区间上随机取一个数的事件记为，则，故选b.

4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（  ）

a.  b.  c.  d. 

【答案】c

【解析】由三视图可知该几何体为个圆柱和个球的组合体，其表面积为，故选c.

5. 设，则“”是“函数在定义域上为增函数”的（  ）

a. 充分不必要条件 b. 必要不充分条件

c. 充要条件 d. 既不充分也不必要条件

【答案】a

【解析】函数的定义域为，设，，在上为增函数，当时，为增函数，根据同增异减原理，在定义域内是增函数，若函数在定义域内是增函数，只需“”是“函数在定义域上是增函数”的充分不必要条件，故选a.

6. 若，则（  ）

a.  b.  c.  d. 

【答案】b

【解析】两边平方得， ，故选b.

7. 某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率．设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为，则满足的关系是（  ）

a.  b.  c.  d. 

【答案】b

【解析】椭圆为黄金椭圆，， ，故选b.

8. 执行如图所示的程序框图，则程序最后输出的结果为（  ）

a.  b.  c.  d. 

【答案】b

【解析】由程序框图知，；此程序的值构成了周期为的周期数列，当时，，即输出的为，故选b.

【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

9. 已知函数的图像向右平移个单位后，得到函数的图像关于直线对称，若，则（  ）

a.  b.  c.  d. 

【答案】c

【解析】根据题意，，，故 ，又 ，，  ，故选c.

10. 在如图所示的三棱柱中，已知，点在底面上的射影是线段的中点，则直线与直线所成角的正切值为（  ）

a.  b.  c.  d. 

【答案】b

【解析】

由题知，平面，而平面，，又 ，平面，在中，，则，在中，，则，过点作，且，连接， ，，故平面，，因此为直线与直线所成的角，又，，故选b.

【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.

11. 已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线的右支上，如果，则双曲线离心率的取值范围是（  ）

a.  b.  c.  d. 

【答案】a

学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...

12. 已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，则不等式的解集是（  ）

a.  b.  c.  d. 

【答案】d

【解析】原不等式等价于，令 在上是增函数，又是奇函数，，原不等式为解集为，故选d.

【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.

第ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影为__________．

【答案】

【解析】由向量，，可得向量在向量方向的投影为，故答案为.

【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式以及向量的投影，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，  （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.

14. 若满足约束条件，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示），

由于，故表示可行域内的点与定点间距离的平方，即．

由图形可得的最小值即为点到直线的距离

，所以．

答案：

15. 在的展开式中，的系数为__________ （用数字作答）．

【答案】60

【解析】，它展开式中的第项为，令，则 ，的系数为，故答案为.

16. 已知空间直角坐标系中，正四面体的棱长为2，点，，，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知数列中，，其前项和为，满足．

（ⅰ）求的通项公式；

（ⅱ）记，求数列的前项和，并证明．

【答案】(1)  (2) ，见解析

【解析】试题分析：（ⅰ）由，得，两式相减可得，得，从而得数列是首项为，公比为的等比数列，进而可得结果；（ⅱ）由，得 ，利用裂项相消法求出数列的前项和，利用放缩法可证明.

试题解析：（ⅰ）由，得，

后式减去前式，得，得．

因为，可得，所以，

即数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以．

（ⅱ）因为，所以 ，

所以 ，

因为，所以．

【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义通项公式、求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）  ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

18. 如图，在锐角中，，，，点在边上，且，点在边上，且，交于点．

（ⅰ）求的长；

（ⅱ）求及的长．

【答案】(1)5(2)  

【解析】试题分析：（ⅰ）在锐角中，，，，由正弦定理可得；（ⅱ）由诱导公式、同角三角函数之间的关系以及两角和的余弦公式可得的值，根据直角三角形的性质可得，，利用余弦定理求得，再由余弦定理得.，根据可得结果.

试题解析：（ⅰ）在锐角中，，，，

由正弦定理可得，所以．

（ⅱ）由，，可得，，

所以 

 ，

因为，所以，，

在中，，，，

由余弦定理可得 ，

所以 ．

由，得，

所以．

19. 质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．

（ⅰ）从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；

（ⅱ）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；

（ⅲ）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用表示乙车间的零件个数，求的分布列与数学期望．

【答案】(1)  (2) （3）

【解析】试题分析：

（1）本题求独立事件同时发生的概率，解题时运用对立事件的概率求解比较简单．（2）运用条件概率求解，解题时要分清谁是条件．（3）由题意可得到的所有可能取值，然后分别求出概率，列成表格的形式可得分布列，根据定义求得期望值．

试题解析：

（1）由题意得甲车间的合格零件数为4，乙车间的合格的零件数为2，

故所求概率为．

即甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率为．

（2）设事件表示“2件合格，2件不合格”；事件表示“3件合格，1件不合格”；事件表示“4件全合格”； 事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”．

则，

∴ ．

故甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率为．

（3）由题意可得的所有可能取值为0，1，2．

，

，

．

∴ 随机变量的分布列为

∴ ．

点睛：

（1）在求某事件的概率时，若事件较为复杂时，可通过求它的对立事件的概率来求解．对于含有“至多”、“至少”等词语的概率问题，一般用对立事件的概率来解较为简单．

（2）求概率时，当题目中含有“在……发生的条件下，求……发生的概率”的字样时，一般用条件概率求解，解题时要分清楚谁是条件，然后再利用公式求解．

20. 如图，在四棱锥中，，且．

（ⅰ）当时，证明：平面平面；

（ⅱ）当四棱锥的体积为，且二面角为钝角时，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)见解析(2) 

【解析】试题分析：（ⅰ）取的中点，连接，由正三角形的性质可得，由勾股定理可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而根据面面垂直的判定定理可得平面平面；（ⅱ）根据四棱锥的体积为，可得，∴，以为坐标原点，以为轴，轴．在平面内过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，算出直线的方向向量与平面的法向量，根据空间向量夹角的余弦公式可得结果.

试题解析：（ⅰ）取的中点，连接，

∵为正三角形，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴四边形为矩形，∴，

在中，，，，∴，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（ⅱ）∵，，，

平面，∴平面，

∵平面，∴平面平面，

∴过点作平面，垂足一定落在平面与平面的交线上．

∵四棱锥的体积为，

∴ ，∴，

∵，∴．

如图，以为坐标原点，以为轴，轴．

在平面内过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，

由题意可知，，，，，，

设平面的一个法向量为，则，得，

令，则，∴，

，设直线与平面所成的角为，

则 ．

则直线与平面所成角的正弦值为．

【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直、面面垂直的判定定理以及空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

21. 已知直线是抛物线的准线，直线，且与抛物线没有公共点，动点在抛物线上，点到直线和的距离之和的最小值等于2.

（ⅰ）求抛物线的方程；

（ⅱ）点在直线上运动，过点做抛物线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出定点的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)  (2) 存在定点，使得恒成立

【解析】试题分析：（ⅰ）作分别垂直和，垂足为，抛物线的焦点为，根据抛物线的定义可得的最小值即为点到直线的距离，故，从而可得结果；（ⅱ）设，，，，利用导数得到切线斜率，可设出切线方程，根据点在切线上可得到和是一元二次方程的根，利用韦达定理以及平面向量数量积公式，可得时，从而可得结论.

试题解析：（ⅰ）作分别垂直和，垂足为，抛物线的焦点为，

由抛物线定义知，所以，

显见的最小值即为点到直线的距离，故，

所以抛物线的方程为．

（ⅱ）由（ⅰ）知直线的方程为，当点在特殊位置时，显见两个切点关于轴对称，故要使得，点必须在轴上．

故设，，，，

抛物线的方程为，求导得，所以切线的斜率，

直线的方程为，又点在直线上，

所以，整理得，

同理可得，

故和是一元二次方程的根，由韦达定理得，

 ，

可见时，恒成立，

所以存在定点，使得恒成立．

22. 已知函数，．

（ⅰ）当时，讨论函数的单调性；

（ⅱ）若在区间上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)见解析(2) 

【解析】试题分析：（ⅰ）求出，对分四种情况讨论，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（ⅱ）令 ，原问题等价于在区间上恒成立，因为，要想在区间上恒成立，只需，可得当时，利用导数研究函数的单调性，从而求出，进而可得结论.

试题解析：（ⅰ）  ，

①当，即时，时，，时，，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；

②当，即时，和时，，时，，

所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；

③当，即时，和时，，时，，

所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；

④当，即时，，所以在定义域上单调递增；

综上：①当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；

②当时，在定义域上单调递增；

③当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；

④当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．

（ⅱ）令 ，

原问题等价于在区间上恒成立，可见，

要想在区间上恒成立，首先必须要，

而，

另一方面当时，，由于，可见，

所以在区间上单调递增，故，所以在区间上单调递减，

∴成立，故原不等式成立．

综上，若在区间上恒成立，则实数的取值范围为