第ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，
，则
（ ）
a．
b．
c．
d．
2.已知复数
（
为虚数单位），则
的共轭复数为（ ）
a．
b．
c．
d．
3.下列说法正确的是（ ）
a．若命题
，
，则
，
b．已知相关变量
满足回归方程
，若变量
增加一个单位，则
平均增加
个单位
c．命题“若圆
与两坐标轴都有公共点，则实数
”为真命题
d．已知随机变量
，若
，则
4.如图，在边长为
的正方形
中，
是
的中点，过
，
，
三点的抛物线与
围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（ ）
a．
b．
c.
d．
5.已知某几何体的三视图（单位：
）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
a．
b．
c. 
d．
6.已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
的最小值为（ ）
a．
b．
c.
d.
7.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数
，按照以下的规律进行变换：如果
是个奇数，则下一步变成
；如果
是个偶数，则下一步变成
，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的
值为
，则输入的
值为（ ）
a．
b．
c.
或
d．
或
或
8.在
的二项展开式中，若第四项的系数为
，则
（ ）
a．
b．
c.
d．
9.已知等差数列
的前
项和为
，且
，则
的值为（ ）
a．
b．
c.
d．
10.将函数
的图象向左平移
个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则
的最小值为（ ）
a．
b．
c. 
d．
11.如图，过抛物线
焦点
的直线交抛物线于
，
两点，交其准线
于点
，若
，且
，则此抛物线方程为（ ）
a．
b．
c.
d．
12.已知函数
，设关于
的方程
有
个不同的实数解，则
的所有可能的值为（ ）
a．
b．
或
c.
或
d．
或或
第ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量
，
，若
，则实数
．
14.设实数
，
满足不等式组
则
的最大值为 ．
15.已知双曲线经过点
，其一条渐近线方程为
，则该双曲线的标准方程为 ．
16.已知等腰直角
的斜边
，沿斜边的高线
将
折起，使二面角
的大小为
，则四面体
的外接球的表面积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且有
.
（1）求角
的大小；
（2）当
时，求
的最大值.
18. 某调查机构随机调查了
岁到
岁之间的
位网上购物者的年龄分布情况，并将所得数据按照
，
，
，
，
分成
组，绘制成频率分布直方图（如图）.
（1）求频率分布直方图中实数
的值及这
位网上购物者中年龄在
内的人数；
（2）现采用分层抽样的方法从参与调查的
位网上购物者中随机抽取
人，再从这
人中任选
人，设这
人中年龄在
内的人数为
，求
的分布列和数学期望.
19. 如图，菱形
与四边形
相交于
，
，
平面
，
，
，
，
为
的中点，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
成角的正弦值.
20. 已知椭圆
的两个焦点为
，
，离心率
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
与椭圆交于
，
两点，线段
的垂直平分线交
轴于点
，当
变化时，求
面积的最大值.
21. 已知函数
（
是常数）.
（1）求函数
的单调区间；
（2）当
时，函数
有零点，求
的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴非负半轴为极轴）中，直线
的方程为
.
（1）求曲线
的普通方程及直线
的直角坐标方程；
（2）设
是曲线
上的任意一点，求点
到直线
的距离的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数
.
（1）求不等式
的解集
；
（2）当
时，证明：
.
2018年辽宁单招数学（理科）模拟试题一参考答案
一、选择题
1-5:adcdb 6-10:dcbbd 11、12：ca
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解：（1）因为
，
由正弦定理，得
，
即
，即
.
因为在
中，
，
所以
，所以
，解得
.
（2）由余弦定理，得
，
即
，
故
，当且仅当
时，取等号.
所以
，
即
的最大值为
.
18.解：（1）由频率分布直方图，可得
，得
.
则这
位网上购物者中年龄在
内的频率为
，
故这
位网上购物者中年龄在
内的人数为
.
（2）由频率分布直方图可知，年龄在
内的人数与其他年龄段的总人数比为
，
由分层抽样的知识知，抽出的
人中年龄在
内的人数为
，其他年龄段的总人数为
.
所以
的可能取值为
，
，
.
，
，
所以的分布列为
 | 0 | 1 | 2 |
 |  |  |  |
故
的数学期望
.
19.（1）证明：取
的中点
，连接
，
.
因为
为菱形对角线的交点，所以
为
中点.
又
为
中点，所以
，又
平面
，
平面
，所以
平面
.
又因为
，
分别为
，
的中点.
所以
，又因为
，所以
，
平面
，
平面
，所以
平面
，又
，
平面
，
，所以平面
平面
.
又
平面
，所以
平面
.
（2）解：连接
.
设菱形的边长
，则由
，得
，
.
又因为
，所以
.
则在直角
中，
，所以
.
由
平面
，
，得
平面
.
以
为坐标原点，分别以
，
所在直线为
轴，
轴，过点
与平面
垂直的直线为
轴，建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
，
则
，
.
设
为平面
的一个法向量，
则
即
.
令
，得
，所以
.
又
，
所以
.
设直线
与平面
所成角为
，则
.
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
20.解：（1）由离心率
，半焦距
，解得
.
所以
.
所以椭圆
的方程是
.
（2）解：设
，
，
据
得
∵直线
与椭圆
有两个不同的交点，
∴
，又
，所以
且
.
由根与系数的关系得
，
设线段
中点为
，点
横坐标
，
，∴
，
∴线段
垂直平分线方程为
，∴点
坐标为
，
点
到直线
的距离
，
又
，
所以
，所以当
时，三角形
面积最大，且
.
21.解：（1）当
时，
，函数在
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，
，因为
，
令
，解得
或
.
①当
时，函数
在
上有
，即
，函数
单调递增；函数
在
，
上有
，即
，函数
单调递减；
②当
时，函数
在
，
上有
，即
，函数
单调递增；函数
在
上有
，即
，函数
单调递减.
综上所述，当
时，函数
的单调递增区间为
，递减区间为
；
当
时，函数
的单调递增区间为
，递减区间为
，
；
当
时，函数
的单调递增区间为
，
，递减区间为
.
（2）①当
时，由
，可得
，
，故
满足题意.
②当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
（i）若
，解得
.
可知
时，
是增函数，
时，
是减函数，
由
，∴在
上
，
解得
，所以
；
（ii）若
，解得
.
函数
在
上递增，
由
，则
，解得
.
由
，所以
.
③当
时，函数
在
上递增，
，
，解得
，
∴
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
22.解：（1）因为
，
所以曲线
的普通方程为
.
又
，展开得
，即
，
因此直线
的直角坐标方程为
.
（2）设
，
则点
到直线
的距离为
，
等号成立当且仅当
，即
时等号成立，即
，
因此点
到直线
的距离的最大值为
.
23.（1）解：由
，得
，即
，
解得
，所以
.
（2）证明：（证法一）
因为
，所以
，
，
，
，
所以
，
，
又
，故
.
（证法二）因为
，故
，
，
而
，
即
，故
.
