2018年辽宁单招数学（文科）模拟试题一【含答案】

第ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（ ）

a． b． c． d．

2.设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（ ）

a． b． c． d．

3.已知，则事件“”发生的概率为（ ）

a． b． c． d．

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

a． b． c.  d．

5.已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）

a． b． c. d．

6.已知，，且，则向量和的夹角为（ ）

a． b． c. d．

7.已知抛物线的焦点为，点.若线段与抛物线相交于点，则（ ）

a． b． c.  d．

8.设，满足约束条件则目标函数的最小值是（ ）

a． b． c. d．

9.已知函数，则函数的单调递减区间为（ ）

a． b．

c. d．

10.已知双曲线的中心在原点，焦点，点为左支上一点，满足，且，则双曲线的方程为（ ）

a． b． c. d．

11.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足，若，则的取值范围是（ ）

a． b． c. d．

12.已知函数，若关于的方程有且仅有个不等实根，则实数的取值范围为（ ）

a． b． c. d．

第ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.的值等于 ．

14.执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的为 ．

15.若一圆锥的体积与一球的体积相等，且圆锥底面半径与球的半径相等，则圆锥侧面积与球的表面积之比为 ．

16.若且，则的最小值为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知数列的前项和满足，且，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

18. 如图，在梯形中，，，，四边形为正方形，且平面平面.

（1）求证：；

（2）若与相交于点，那么在棱上是否存在点，使得平面平面？并说明理由.

19. 某学校的特长班有名学生，其中有体育生名，艺术生名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于次/分到次/分之间.现将数据分成五组，第一组，第二组，…，第五章，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为.

（1）求的值，并求这名同学心率的平均值；

（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为心率小于次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？说明你的理由.

参考数据：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：，其中.

20. 已知直线与椭圆相交于，两点，与轴，轴分别相交于点，，且，，点是点关于轴的对称点，的延长线交椭圆于点，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，.

（1）若椭圆的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上，求椭圆的方程；

（2）当时，若点平方线段，求椭圆的离心率.

21. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若直线与曲线的交点的横坐标为，且，求整数所有可能的值.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为.

（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；

（2）设是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）当时，证明：.

2018年辽宁单招数学（文科）模拟试题一参考答案

一、选择题

1-5:cbbdc 6-10:cabdc 11、12：cb

二、填空题

13. 14. 15. 16.

三、解答题

17.解：（1）由，得.

由作差得.

又，，成等差数列，所以，

即，解得.

所以数列是以为首项、公比为的等比数列，即.

（2）由，得，

于是.

18.（1）证明：连接.

∵在梯形中，，，，

∴，.

∴，∴.

又∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，∴.

又∵正方形中，且，平面，，

∴平面.

又∵平面，∴.

（2）解：如图所示，在棱上存在点，使得平面平面，且.

证明如下：

∵在梯形中，，，，

∴，∴.

又∵，∴，∴.

又∵正方形中，，且，平面，，平面，

∴平面，平面，

又∵，且，平面，

∴平面平面.

19.解（1）因为第二组数据的频率为，故第二组的频数为，由已知得，前三组频数之比为，所以第一组的频数为，第三组的频数为，第四组的频数为，第五组的数为.所以，解得.

这名同学心率的平均值为

.

（2）由（1）知，第一组和第二组的学生（即心率小于次/分的学生）共名，从而体育生有名，故列联表补充如下.

所以，

故有的把握认为心率小于次/分与常年进行系统的身体锻炼有关.

20.解：（1）由题意得

∴

∴椭圆的方程为.

（2）当时，由，得，.

∵，

∴，，

∴直线的方程为.

设，由得，

∴，∴；

设，由得，

∴，∴.

∵点平方线段，∴，

∴，∴，

∴，，代入椭圆方程得，符合题意.

∵，∴，∴.

21.解：（1）由题意，知，∴.

①若时，，在上恒成立，所以函数在上单调递增；

②若时，当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减；

③若时，当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

综上，若时，在上单调递增；

若时，函数在内单调递减，在区间内单调递增；

当时，函数在区间内单调递增，在区间内单调递减.

（2）由题可知，原命题等价于方程在上有解，

由于，所以不是方程的解，

所以原方程等价于，令，

因为对于恒成立，

所以在和内单调递增.

又，，，，

所以直线与曲线的交点仅有两个，

且两交点的横坐标分别在区间和内，

所以整数的所有值为，.             

22.解：（1）因为，

所以曲线的普通方程为；

又，展开得，即，

因此直线的直角坐标方程为.

（2）设，

则点到直线的距离为，

当且仅当，即时等号成立，即，

因此点到直线的距离的最大值为.

23.（1）解：由，得，即，

解得，所以.

（2）证明：（解法一）.

因为，所以，，，，

所以，.

又，故.

（解法二）因为，故，，

而

，

即，故.