2018年天津高职自主招生数学（理科）模拟试题【含答案】

一、选择题

1．已知集合a={x|y=}，b={x|＞0}，则a∩b=（　　）

a．{x|﹣1＜x＜1} b．{x|x＞1} c．{x|﹣1＜x≤1} d．{x|x≥1}

2．设复数z满足iz=|2+i|+2i（i是虚数单位），则|z|=（　　）

a．3 b．　 c．i 　d．i

3．设x，y满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（　　）

a．x≥3 b．y≥4 c．x+2y﹣8≥0 d．2x﹣y+1≥0

4．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（　　）

a． b． c． d．

5．下列说法正确的是（　　）

a．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”

b．∃x0∈（﹣∞，0），2成立

c．“若tanα≠1，则”是真命题

d．{an}为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的既不充分也不必要条件

6．已知抛物线c：y2=2px（p＞0）的焦点为f，准线l：x=﹣，点m在抛物线c上，点a在准线l上，若ma⊥l，且直线af的斜率kaf=﹣，则△afm的面积为（　　）

a．3 b．6 c．9 d．12

7．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a），当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a=（　　）

a．﹣1 b．1 c． d．e2

8．已知定义在r上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x﹣2）=f（﹣x）；③当x∈[﹣1，1]时，f（x）=；则函数y=f（x）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]上的零点个数为（　　）

a．5 b．6 c．7 d．8

二、填空题

9．甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：℃）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是  ．

10．执行如图所示的程序框图，若输入的n是4，则输出p的值是  ．

11．设p是双曲线上一点，f1，f2分别是双曲线左右两个焦点，若|pf1|=9，则|pf2|等于  ．

12．直线y=kx+3与圆（x﹣4）2+（y﹣3）2=4相交于m，n两点，|mn|，则k的取值范围是  ．

13．在直角三角形abc中，∠acb=90°，ac=bc=2，点p是斜边ab上的一个三等分点，则=  ．

14．已知x，y均为正实数，且x+y=16，则的最大值为  ．

三、解答题

15．已知函数f（x）=2sin2x+2sinx•sin（x+）

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的取值范围．

16．在△abc，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且cos2a=3cos（b+c）+1

（1）求角a的大小；

（2）若a=3，sinc=2sinb，求b，c的值．

17．如图，在三棱柱abc﹣a1b1c1中，aa1⊥面abc，ab=bc=2bb1，∠abc=90°，d为bc的中点．

（1）求证：a1b∥平面adc1；

（2）求二面角c﹣ad﹣c1的余弦值；

（3）若e为a1b1的中点，求ae与dc1所成的角．

18．已知数列{an}的前n项和sn满足：sn=2（an﹣1），数列{bn}满足：对任意n∈n*有a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）•2n+1+2．

（1）求数列{an}与数列{bn}的通项公式；

（2）记cn=，数列{cn}的前n项和为tn，证明：当n≥6时，n|tn﹣2|＜1．

19．已知椭圆c：+=1（a＞b＞0）过点p（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b．过点p作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆c分别交于另两点m，n．

（1）求椭圆c的方程；

（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△pmn的面积；

（3）若线段mn的中点在x轴上，求直线mn的方程．

20．设函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈r）

（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2）

①求实数a的范围；

②证明：．

2018年天津高职自主招生数学（理科）模拟试题参考答案

一、选择题

1-5：aacdc  6-8：cba

二、填空题

9．乙．　

10．24．　

11．17．　

12．[﹣，]．　

13．4

14．1．

三、解答题

15．解：（1）∵函数f（x）=2sin2x+2sinx•sin（x+）

=2•+sin2x=2sin（2x﹣）+1，

故f（x）的最小正周期为=π．

（2）把函数y=f（x）的图象向左平移个单位，

再向上平移2个单位，可得函数g（x）=2sin（2x+﹣）+2+1=2sin（2x+）+3的图象，

在区间[0，]上，2x+∈[，]，

故当2x+=时，f（x）取得最小值为2•（﹣）+3=3﹣；

当2x+=时，f（x）取得最大值为2+3=5．

16．解：（1）由cos2a=3cos（b+c）+1得，

2cos2a+3cosa﹣2=0，

即（2cosa﹣1）（cosa+2）=0，

解得cosa=或cosa=﹣2（舍去），

因为a为三角形的内角，所以a=；

（2）由（1）知cosa=，

又sinc=2sinb，∴c=2b；

由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosa，

∴9=b2+4b2﹣2b•2b•，

解得b=；

∴c=2．

17．（ⅰ）证明：可设ab=bc=2bb1=2，以b为坐标原点，ba所在直线为x轴，bc所在直线为y轴，bb1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

a1（2，0，1），b（0，0，0），a（2，0，0），

d（0，1，0），c1（0，2，1），

则有=（﹣2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），

设平面adc1的法向量为=（x1，y1，z1），

由，取x1=1，得=（1，2，﹣2），

∵•=﹣2+0+2=0，

∴⊥，

则a1b∥平面adc1；

（ⅱ）解：由（ⅰ）可得=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），=（0，﹣1，0），

由c1c⊥平面abc，可知平面abc的法向量为=（0，0，1），

由（ⅰ）可得平面adc1的法向量为=（1，2，﹣2），

由cos＜＞==．

故二面角c﹣ad﹣c1的余弦值为；

（ⅲ）解：e为a1b1的中点，

则e（1，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，1），

cos＜＞==，

由0≤＜＞≤π，可得＜＞=，

则ae与dc1所成的角为．

18．解：（1）数列{an}的前n项和sn满足：sn=2（an﹣1）①，

则：sn﹣1=2（an﹣1﹣1）②，

所以：①﹣②得：an=2an﹣1，

即：，

当n=1时，

解得：a1=2．

故数列{an}的通项公式为：（首项符合）．

故通项公式为：．

数列{bn}满足：对任意n∈n*有a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）•2n+1+2③．

则：a1b1+a2b2+…+an﹣1bn﹣1=（n﹣2•2n+2④．

③﹣④得：

故：bn=n．

证明：（2）根据（1）的通项公式，

则：=，

⑤．

=⑥．

⑤﹣⑥得：=﹣．

解得：．

故：|tn﹣2|==，

所以：n|tn﹣2|=，

当n≥6时，．

故：n|tn﹣2|＜1成立．

19．解：（1）因为椭圆c：+=1（a＞b＞0）过点p（﹣1，﹣1），

c为椭圆的半焦距，且c=b，

所以，且c2=2b2，

所以a2=3b2，解得b2=，a2=4．

所以椭圆方程为：+=1．…

（2）设l1方程为y+1=k（x+1），

联立，

消去y得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．

因为p为（﹣1，﹣1），解得m（，）．…（5分）

当k≠0时，用﹣代替k，得n（，）． …（7分）

将k=﹣1代入，得m（﹣2，0），n（1，1）．

因为p（﹣1，﹣1），所以pm=，pn=2，

所以△pmn的面积为××2=2．             …（9分）

（3）设m（x1，y1），n（x2，y2），

则，

两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

因为线段mn的中点在x轴上，

所以y1+y2=0，从而可得（x1+x2）（x1﹣x2）=0．…（12分）

若x1+x2=0，则n（﹣x1，﹣y1）．

因为pm⊥pn，所以•=0，得x12+y12=2．

又因为x12+3y12=4，所以解得x1=±1，

所以m（﹣1，1），n（1，﹣1）或m（1，﹣1），n（﹣1，1）．

所以直线mn的方程为y=﹣x．…（14分）

若x1﹣x2=0，则n（x1，﹣y1），

因为pm⊥pn，所以•=0，得y12=（x1+1）2+1．

又因为x12+3y12=4，所以解得x1=﹣或﹣1，

经检验：x=﹣满足条件，x=﹣1不满足条件．

综上，直线mn的方程为x+y=0或x=﹣．…（16分）

20．解：（1）当a=2时，函数f（x）=x2﹣2x+2lnx（x＞0），

f′（x）=2x﹣2+=，

可得f（1）=﹣1，f′（1）=2

∴在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（﹣1）=2（x﹣1），即2x﹣y﹣3=0．

（2），（x＞0），

①∵函数f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2）．

∴2x2﹣2x+a=0有两个不等正实根，

∴，∴

∴实数a的范围：（0，）．

②∵a=2x1x2=2x2（1﹣x2），1﹣x1=x2，

∴===，（）．

令h（t）=t+2（1﹣t）ln（1﹣t）﹣，（），

h，∴h（t）在（）递增，

∴．∴．