2018年天津高职自主招生数学（文科）模拟试题【含答案】　

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．i是虚数单位，则=（　　）

a．﹣+i b．﹣i c． +i d． +i

2．方程ex=2﹣x的根位于（　　）

a．（﹣1，0） b．（0，1） c．（1，2） d．（2，3）

3．下列说法正确的是（　　）

a．命题“∃x0∈r，2＞1”的否定是“∀x∈r，2x≤1”

b．命题“若x=y，则x2=y2”的否命题是“若x=y，则x2≠y2”

c．p：∀x∈r，x2+1≥1，q：在△abc中，若sina=，则a=，则p∧q为真命题

d．若平面α⊥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a⊥b

4．阅读如图的框图，则输出的s=（　　）

a．30 b．29 c．55 d．54

5．如图是函数y=asin（ωx+φ）（x∈r）在区间[﹣，]上的图象，为了得到这个函数的图象．只需将y=cosx（x∈r）的图象上的所有点（　　）

a．向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍

b．向左平移个单位长度．再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍

c．把所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度

d．把所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度

6．若实数a，b，c满足2a=，log2b=，lnc=，则（　　）

a．a＜c＜b b．a＜b＜c c．b＜c＜a d．c＜b＜a

7．抛物线c：x2=2py（p＞0）的焦点为f，l为c的准线，p∈c．且|pf|=6，过p作l的垂线，垂足为m，若△fmp为正三角形，则p=（　　）

a．2 b．3 c．4 d．5

8．函数f（x）=，若f（x）=kx有三个不同的根，则实数k的取值范围是（　　）

a．（0，）∪（2﹣2，] b．[0，）∪（2﹣2，] c．[0，]∪（2﹣2，] d．（0，]∪（2﹣2，]

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．某单位生产甲，乙，丙三种不同型号的产品，甲乙丙三种产品数量之比为3：4：5，现用分层抽样的方法抽出一个容量为96的样本，则乙种型号的产品数量为　   　．

10．设集合p={x∈n|x≤8}，q={x∈r||x﹣1|≤2}，则p∩q=　   　．

11．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为　   　．

12．圆x2﹣2ax+y2=4﹣a2在y轴上的截距为2，则实数a=　   　．

13．已知x＞0，y＞0，且+=2，则x+y的最小值是　   　．

14．平行四边形abcd中，|ab|=2，|bc|=，∠dab=60°，=， =，则•=　   　．

三、解答题（共6小题，满分80分）

15．（13分）在△abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，已知cosa=﹣，b=2，a=3．

（1）求sinb的值；

（2）求sin（2b﹣）的值．

16．（13分）某公司计划在甲、乙两个仓储基地储存总量不超过300吨的一种紧缺原材料，总费用不超过9万元，此种原材料在甲、乙两个仓储基地的储存费用分别为500元/吨和200元/吨，假定甲、乙两个仓储基地储存的此种原材料每吨能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个仓储基地的储存量，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

17．（13分）在棱长为2的正三棱柱abc﹣a1b1c1中，d，e分别是bc，bb1的中点．

（1）求证：a1b∥ac1d

（2）求证：ce⊥面ac1d

（3）求二面角c﹣ac1﹣d的正弦值．[来源:]

18．（13分）在公比为m的等比数列{an}中，a3=2，a1+a2+a3=6．

（1）求m．

（2）求{nan}的前n项和tn．

19．（14分）椭圆c： +=1（a＞b＞0）的离心率为，各个顶点围成的菱形面积为2．

（1）求c的方程；

（2）过右顶点a的直线l交椭圆c于a，b两点．

①若|ab|=，求l的方程；

②点p（0，y0）在线段ab的垂直平分线上，且=3，求y0．

20．（14分）f（x）=ax2+3x﹣（a+3）lnx（a＞﹣）

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程，

（2）讨论f（x）的单调性，

（3）∀a∈[1，2]，∀x∈[1，3]，f（x）≥ta2恒成立，求实数t的取值范围．

2018年天津高职自主招生数学（文科）模拟试题参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．i是虚数单位，则=（　　）

a．﹣+i b．﹣i c． +i d． +i

【解答】解： =，

故选：c．

2．方程ex=2﹣x的根位于（　　）

a．（﹣1，0） b．（0，1） c．（1，2） d．（2，3）

【解答】解：设f（x）=ex+x﹣2，则f（0）=1﹣2=﹣1＜0，

f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，

所以根据零点存在性定理，在区间（0，1）上函数f（x）存在一个零点，

即程ex=2﹣x的根位于（0，1）．

故选b．

3．下列说法正确的是（　　）

a．命题“∃x0∈r，2＞1”的否定是“∀x∈r，2x≤1”

b．命题“若x=y，则x2=y2”的否命题是“若x=y，则x2≠y2”

c．p：∀x∈r，x2+1≥1，q：在△abc中，若sina=，则a=，则p∧q为真命题

d．若平面α⊥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a⊥b

【解答】解：对于a，命题“∃x0∈r，2＞1”的否定是“∀x∈r，2x≤1”，a正确；

对于b，命题“若x=y，则x2=y2”的否命题是“若x≠y，则x2≠y2”，则b不正确；

对于c，p：∀x∈r，x2+1≥1，成立，p真；q：在△abc中，若sina=，则a=或，q假，

则p∧q为假命题，则c不正确；

对于d，若平面α⊥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a，b平行、相交或异面，则d不正确．

故选：a．

4．阅读如图的框图，则输出的s=（　　）

a．30 b．29 c．55 d．54

【解答】解：模拟程序的运行，可得

s=0，i=1

执行循环体，i=2，s=4

不满足条件i＞4，执行循环体，i=3，s=4+9=13

不满足条件i＞4，执行循环体，i=4，s=13+16=29

不满足条件i＞4，执行循环体，i=5，s=29+25=54

此时，满足条件i＞4，退出循环，输出s的值为54．

故选：d．

5．如图是函数y=asin（ωx+φ）（x∈r）在区间[﹣，]上的图象，为了得到这个函数的图象．只需将y=cosx（x∈r）的图象上的所有点（　　）

a．向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍

b．向左平移个单位长度．再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍

c．把所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度

d．把所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度

【解答】解：根据函数y=asin（ωx+φ）（x∈r）在区间[﹣，]上的图象可得a=1，

t==+=π，∴ω=2；

再根据五点法组图可得2×（﹣）+φ=0，∴φ=，

∴函数的解析式为 y=sin（2x+），

可化为y=sin（2x++）=cos（2x+）=cos2（x+）；

把y=cosx（x∈r）的图象向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，

或把所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度，

可得 y=sin（2x+）的图象．

故选：c．

6．若实数a，b，c满足2a=，log2b=，lnc=，则（　　）

a．a＜c＜b b．a＜b＜c c．b＜c＜a d．c＜b＜a

【解答】解：∵2a=，∴log2=a，即log2a=﹣a，

作出y=log2x，y=﹣x，y=lnx和y=的函数图象，

如图所示：

由图象可知

∴0＜a＜1，c＞b＞1．

∴a＜b＜c．

故选：b．

7．抛物线c：x2=2py（p＞0）的焦点为f，l为c的准线，p∈c．且|pf|=6，过p作l的垂线，垂足为m，若△fmp为正三角形，则p=（　　）

a．2 b．3 c．4 d．5

【解答】解：设准线l与y轴相交于n，

由|pf|=6，△fmp为正三角形，则丨mf丨=6，∠pmf=

由pm⊥l，∠fmn=，

∴丨fn丨=3，即p=丨fn丨=3，

∴p=3，

故选：b．

8．函数f（x）=，若f（x）=kx有三个不同的根，则实数k的取值范围是（　　）

a．（0，）∪（2﹣2，] b．[0，）∪（2﹣2，] c．[0，]∪（2﹣2，] d．（0，]∪（2﹣2，]

【解答】解：作出f（x）与y=kx的函数图象如图所示：

若直线y=kx过（4，1），则k=，

若直线y=kx过（2，3），则k=，

若直线y=kx与y=x2﹣2x+3相切，设切点坐标为（x0，y0），

则，解得x0=，y0=6﹣2，k=2﹣2，

∴当0≤k＜或2＜k≤时，直线y=kx与f（x）的图象有3个交点，

故选b．

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．某单位生产甲，乙，丙三种不同型号的产品，甲乙丙三种产品数量之比为3：4：5，现用分层抽样的方法抽出一个容量为96的样本，则乙种型号的产品数量为　32　．

【解答】解：根据分层抽样原理，当样本容量为96时，

抽取乙种型号的产品数量为96×=32．

故选：32．

10．设集合p={x∈n|x≤8}，q={x∈r||x﹣1|≤2}，则p∩q=　{0，1，2，3}　．

【解答】解：集合p={x∈n|x≤8}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，

q={x∈r||x﹣1|≤2}={x∈r|﹣2≤x﹣1≤2}={x∈r|﹣1≤x≤3}，

则p∩q={0，1，2，3}．[来源:]

故答案为：{0，1，2，3}．

11．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为　　．

【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个又正视图为底面的四棱锥

由于底面为边长为2的正方形，故s=2×2=4

而棱锥的高h=2

故v=×s×h=×4×2=

故答案为：

12．圆x2﹣2ax+y2=4﹣a2在y轴上的截距为2，则实数a=　　．

【解答】解：∵圆x2﹣2ax+y2=4﹣a2在y轴上的截距为2，

令x=0，得y=，

∴2=2，解得a=．

故答案为：．

13．已知x＞0，y＞0，且+=2，则x+y的最小值是　　．

【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+=2，

则x+y=（3x+y）+（x+2y）= [（3x+y）+（2x+4y）] = 

≥=，当且仅当y=2x=时取等号．[来源:]

故答案为：．

14．平行四边形abcd中，|ab|=2，|bc|=，∠dab=60°，=， =，则•=　2+　．

【解答】解： =4， =2， =2×=，

=+（）=+，

=，

∴=（+）•（）=++=++=2+．

故答案为：2+．[来源:]

三、解答题（共6小题，满分80分）

15．（13分）在△abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，已知cosa=﹣，b=2，a=3．

（1）求sinb的值；

（2）求sin（2b﹣）的值．

【解答】解：（1）cosa=﹣，＜a＜π，则sina==，

由正弦定理=，则sinb=，

∴sinb的值；

（2）由0＜b＜，则cosb==，

则sin2b=2sinbcosb=，cos2b=2cos2b﹣1=，

sin（2b﹣）=sin2bcos﹣cos2bsin，

=×﹣×，

=，

sin（2b﹣）的值．

16．（13分）某公司计划在甲、乙两个仓储基地储存总量不超过300吨的一种紧缺原材料，总费用不超过9万元，此种原材料在甲、乙两个仓储基地的储存费用分别为500元/吨和200元/吨，假定甲、乙两个仓储基地储存的此种原材料每吨能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个仓储基地的储存量，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

【解答】解：设公司在甲、乙两个仓储基地储存的原材料分别为x吨和y吨，总收益为z元，

由题意得即

目标函数为z=3000x+2000y．　 …（3分）

作出二元一次不等式组所表示的平面区域．如图所示…（6分）

（注：图象没画或不正确扣3分）

作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0．

平移直线l，从图中可知，当直线l过m点时，

目标函数取得最大值．　 …（8分）

联立解得x=100，y=200．

∴点m的坐标为（100，200）．

∴zmax=3000x+2000y=700000（元）=70（万元）…（11分）

答：该公司在甲、乙两个仓储基地储存的原材料分别为100吨和200吨，才能使公司的收益最大，最大收益是70万元．…（12分）

17．（13分）在棱长为2的正三棱柱abc﹣a1b1c1中，d，e分别是bc，bb1的中点．

（1）求证：a1b∥ac1d

（2）求证：ce⊥面ac1d

（3）求二面角c﹣ac1﹣d的正弦值．

【解答】解：（1）如图，连接a1c交ac1于点f，则f为ac1的中点，

∴df为△a1bc的中位线，故df∥a1b，

a1b⊄面ac1d，df⊂面ac1d，

∴a1b∥面ac1d；

（2）∵正三棱柱abc﹣a1b1c1中，d，e分别是bc，bb1的中点，

∴ad⊥面b1bcc1，∴ad⊥ce，

在正方形b1bcc1中，∵d，e分别是bc，bb1的中点，可得△ecb≌dc1c，

∴∠ecb=∠dc1c，

即∠cdc1+∠ecb=90°．∴ce⊥dc，

且ad∩cd=d，∴ce⊥面ac1d；

（3）如图由（2）得ce⊥面ac1d，设ce交dc1于h，连接hf，

则∠hfc就是二面角c﹣ac1﹣d的平面角，

在正方形bb1c1c中，由射影定理得cc12=c1d•c1h，⇒

由，⇒ch=．

在rt△chf中，sin∠hfc=．

∴二面角c﹣ac1﹣d的正弦值为．

18．（13分）在公比为m的等比数列{an}中，a3=2，a1+a2+a3=6．

（1）求m．

（2）求{nan}的前n项和tn．

【解答】解：（1）公比为m的等比数列{an}中，a3=2，a1+a2+a3=6．

∴=2， =6，

解得m=1，a1=2或m=﹣，a1=8．

∴m=1，或m=﹣．

（2）由（1）可得：an=2或an=．

①an=2时，nan=2n．

∴{nan}的前n项和tn==n2+n．

②an=．nan=8n×．

∴{nan}的前n项和tn=8+…+，

∴tn=8+…+（n﹣1）×+n×．

∴=8+…+n×．[来源:学,科,网z,x,x,k]

∴tn=﹣×．

19．（14分）椭圆c： +=1（a＞b＞0）的离心率为，各个顶点围成的菱形面积为2．

（1）求c的方程；

（2）过右顶点a的直线l交椭圆c于a，b两点．

①若|ab|=，求l的方程；

②点p（0，y0）在线段ab的垂直平分线上，且=3，求y0．

【解答】解：（1）由题意可知，解得a=，b=1，c=，

∴椭圆c的方程为．

（2）①a（，0），设直线l的方程为y=k（x﹣），

联立方程组，消元得：（1+3k2）x2﹣6k2x+9k2﹣3=0，

设b（x1，y1），∵x=是此方程的一个解，∴x1=，

∴|ab|=•（﹣x1）=•=，解得k2=，

∴k=±，

∴直线l的方程为y=±（x﹣）．

②由①知b（，），设ab的中点为d，则d（，），

∴kpd=，解得y0=，

∴=（，），=（，），

∴=+=3，化简得9k4+8k2﹣1=9k4+6k2+1，解得k2=1，

∴k=±1，

∴y0=或y0=﹣．

20．（14分）f（x）=ax2+3x﹣（a+3）lnx（a＞﹣）

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程，

（2）讨论f（x）的单调性，

（3）∀a∈[1，2]，∀x∈[1，3]，f（x）≥ta2恒成立，求实数t的取值范围．

【解答】解：（1）f（x）=x2+3x﹣4lnx的导数为f′（x）=x+3﹣，

可得曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为1+3﹣4=0，切点为（1，），

故曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y﹣=0（x﹣1），

即有y=；

（2）f（x）=ax2+3x﹣（a+3）lnx（a＞﹣）的导数为：

f′（x）=ax+3﹣=，

当a=0时，f′（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；

当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增．

当a＞0时，﹣＜1，可得当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；

当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增．

当﹣＜a＜0时，﹣＞1，可得当0＜x＜1或x＞﹣时，f′（x）＜0，f（x）递减；

当1＜x＜﹣，时，f′（x）＞0，f（x）递增．

综上可得，当a≥0时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；

当﹣＜a＜0时，f（x）在（0，1），（﹣，+∞）递减；在（1，﹣）递增．

（3）由题意可知，对任意a∈[1，2]及x∈[1，3]时，恒有f（x）≥ta2恒成立等价于

f（x）min≥ta2，

由（2）可得当a≥0时，f（x）在x∈[1，3]上递增，f（x）的最小值为f（1）=a+3，

任意a∈[1，2]时， a+3≥ta2恒成立，

∴t≤+，a∈[1，2]时恒成立，

令g（a）=+，由g′（a）=﹣﹣•＜0，

可得g（a）在[1，2]递减，即有g（a）的最小值为g（2）=1，

则实数t的取值范围为t≤1．