2018年河北单招数学（理科）模拟试题【含答案】

第ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数，则（ ）

a．-1 b．1 c． d．

2.设全集，集合，则（ ）

a． b．

c． d．

3.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，只有通过前一天才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ）

a．0.56 b．0.336 c．0.32 d．0.224

4.的内角，，所对的边分别为，，.已知，，且，则（ ）

a．6 b． c． d．7

5.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

a．4 b．5 c．6 d．7

6.若函数在上是增函数，则的取值范围为（ ）

a． b． c． d．

7.记不等式组，表示的平面区域为，点的坐标为.有下面四个命题：

：，的最小值为6；：，；

：，的最大值为6；：，.

其中的真命题是（ ）

a．， b．， c．， d．，

8.若的展开式中的系数为80，其中为正整数，则的展开式中各项系数的绝对值之和为（ ）

a．32 b．81 c．243 d．256

9.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中的单位为钱，则输出的，分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）

a． b． c． d．

10.若仅存在一个实数，使得曲线：关于直线对称，则的取值范围是（ ）

a． b． c． d．

11.设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径为，若二面角的正切值为，则（ ）

a．5 b．6 c．7 d．8

12.设双曲线：的左顶点与右焦点分别为，，以线段为底边作一个等腰，且边上的高.若的垂心恰好在的一条渐近线上，且的离心率为，则下列判断正确的是（ ）

a．存在唯一的，且

b．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内

c．存在唯一的，且

d．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内

第ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.在平行四边形中，若，则 ．

14.若圆：的圆心为椭圆：的一个焦点，且圆经过的另一个焦点，则圆的标准方程为 ．

15.若，，则 ．

16.已知集合，，，若集合的子集的个数为8，则的取值范围为 ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.已知数列，的前项和分别为，，，且.

（1）求；

（2）求数列的前项和.

18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有3个红球，3个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取3个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：

①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；

②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；

③若取得的3个小球只有1种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包；

④若取得的3个小球有3种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包；

⑤若取得的3个小球只有2种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包.

抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.

（1）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）；

（2）记一次抽奖获得的红包奖金数（单位：元）为，求的分布列及数学期望，并计算这20位顾客（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值.

19.如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，，分别为棱与的中点，，为线段上的动点，其中，更靠近，且.

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成角的正弦值为，求异面直线与所成角的余弦值.

20.已知，抛物线：与抛物线：异于原点的交点为，且抛物线在点处的切线与轴交于点，抛物线在点处的切线与轴交于点，与轴交于点.

（1）若直线与抛物线交于点，，且，求；

（2）证明：的面积与四边形的面积之比为定值.

21.已知函数，.

（1）比较与的大小，并加以证明；

（2）当时，，且，证明：.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2b铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.

（1）将曲线的参数方程化为普通方程，并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求曲线与曲线交点的极坐标.

23.[选修4-5：不等式选讲]

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.

2018年河北单招数学（理科）模拟试题参考答案

一、选择题

1-5: abdac 6-10: accbd 11、12：ca

二、填空题

13. 2 14.  15. 2 16. 

三、解答题

17.解：（1）依题意可得，，…，，

∴.

（2）∵，∴，

∴.

又，∴.

∴，

∴，则，

∴，

故.

18.解：（1）获得抽奖机会的数据的中位数为110，

平均数为.

（2）的可能取值为2，5，10，

，

，

，

则的分布列为

	2	5	10

故.

这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，

故共有14次抽奖机会.

所以这20位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为元.

19.解：（1）证明：由已知得为正三角形，为棱的中点，

∴，

在正三棱柱中，底面，则.

又，∴平面，∴.

易证，又，∴平面.

（2）解：取的中点，的中点，则，，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设，

则，

易知是平面的一个法向量，

∴，解得.

∴，，，，

∴，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

20.（1）解：由，消去得.

设，的坐标分别为，，

则，.

∴，∵，∴.

∴.

（2）证明：由，得或，则.

设直线：，与联立得.

由，得，∴.

设直线：，与联立得.

由，得，∴.

故直线：，直线：，

从而不难求得，，，

∴，，∴的面积与四边形的面积之比为（为定值）.

21.（1）解：.

证明如下：

设，∵为增函数，

∴可设，∵，，∴.

当时，；当时，.

∴，

又，∴，

∴.

∵，∴，

∴，.

（2）证明：设，

令，得，，

则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

，设，

∵，

∴，即.

当时，，则.

当时，，∵，∴，∴.

当或时，不合题意.

从而.

22.解：（1）∵，∴，即，

又，∴，∴或，

∴曲线的普通方程为（或）.

∵，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为.

（2）由得，

∴（舍去），，

则交点的直角坐标为，极坐标为.

23.解：（1）由，得或或，

解得，故不等式的解集为.

（2），

作出函数的图象，如图所示，

直线过定点，

当此直线经过点时，；

当此直线与直线平行时，.

故由图可知，.