2018年北京高职自主招生数学（理科）模拟试题一【含答案】

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

已知集合，，则是

a.  b.

c.  d.

2. 已知为虚数单位，设复数满足，则=

a. b.  c. d.

3. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式表示的平面区域内的是

a. b. c. d. 

4.“”是“”的

a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件

c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件

5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为

a.  b. 

c. d.

6. 已知圆的圆心为.直线过点且与轴不重合，交圆于两点，点在点，之间.过作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是

a. 椭圆的一部分 b. 双曲线的一部分

c. 抛物线的一部分 d. 圆的一部分

7. 已知函数的图象与直线的公共点不少于两个，则实数的取值范围是

a. b. c. d.

8. 如图1，矩形中，.点在边上， 且. 如图2，沿直线向上折起成．记二面角的平面角为，当时，

存在某个位置，使；

存在某个位置，使；

任意两个位置，直线和直线所成的角都不相等.

以上三个结论中正确的序号是

a. ① b. ①② c. ①③ d. ②③

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 .

10. 执行如图所示的程序框图，输出的值为 .

11.中，分别为边中点，若 

（），则_________.

12. 已知数列满足（），，().设，则 ; .（用含的式子表示）

13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：的一种“图形证明”.

证明思路：

（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；

（2）左图中阴影区域的面积为，右图中，设，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含，的式子表示）；

（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式. 当且仅当满足条件__________________时，等号成立.

14. 如图，一位同学从处观测塔顶及旗杆顶，得仰角分别为和. 后退 (单位m)至点处再观测塔顶，仰角变为原来的一半，设塔和旗杆都垂直于地面，且，，三点在同一条水平线上，则塔的高为 m；旗杆的高为 m.（用含有和的式子表示）

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15. (本小题满分13分)

已知函数.

（ⅰ）求的单调递增区间；

（ⅱ）在中,为角的对边，且满足，

且，求的取值范围.

16. (本小题满分13分)

为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国ⅰ，ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（aqi）（aqi指数越小，空气质量越好）统计表.

表1：2016年12月aqi指数表：单位（）

表2：2017年12月aqi指数表：单位（）

根据表中数据回答下列问题：

（ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；

（ⅱ）根据《环境空气质量指数（aqi）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；

（ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.

17. (本小题满分14分)

如图，在三棱柱中，，是线段的中点，且 平面．

（ⅰ）求证：平面平面；

（ⅱ）求证：平面；

（ⅲ）若，，求二面角 的余弦值.

18. (本小题满分13分)

已知函数，.

（ⅰ）求曲线在点处的切线的斜率；

（ⅱ）判断方程（为的导数）在区间内的根的个数，说明理由；

（ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围.

19. (本小题满分14分)

已知抛物线的焦点为,过抛物线上的动点（除顶点外）作的切线交轴于点.过点作直线的垂线（垂足为）与直线交于点.

（ⅰ）求焦点的坐标；

（ⅱ）求证：；

（ⅲ）求线段的长.

20. (本小题满分13分)

已知集合，其中.表示中所有不同值的个数.

（ⅰ）若集合，求；

（ⅱ）若集合，求证：的值两两不同，并求；

（ⅲ）求的最小值.（用含的代数式表示）

2018年北京高职自主招生数学（理科）模拟试题一参考答案

一、选择题（40分）

二、填空题（30分）

题号	9		10		11
答案			48
题号	12		13		14
答案

三、解答题（80分）

15. （本小题满分13分）

解：（ⅰ）由题知

.

由（），

解得  .

所以单调递增区间为（）. …………… 6分

（ⅱ）依题意，由正弦定理，.

因为在三角形中，所以.

即

当时，；

当时，.

由于，所以.

则.

则.

又，

所以.

由，

则的取值范围是. ……………… 13分

16. （本小题满分13分）

解：（ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分

（ⅱ）可取1，2，3

；；.

的分布列为

	1	2	3

所以 . ………………9分

（ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.

………………13分

17. （本小题满分14分）

（ⅰ）证明：因为，所以．

根据题意， 平面，平面，所以．

因为，所以平面．

又因为平面，所以平面平面． ………………4分

（ⅱ）证明：连接，设，连接．

根据棱柱的性质可知，为的中点，

因为是的中点，

所以．

又因为平面，

平面，

所以平面． ………………8分

（ⅲ）如图，取的中点，则，

因为，所以，

又因为平面，

所以两两垂直．

              以为原点，分别以为

轴建立空间坐标系（如图）.

由（ⅰ）可知，平面,

所以．

又因为，,

所以平面，所以，

所以四边形为菱形．

由已知，

              则，，，．

              设平面的一个法向量为，

因为，，所以，即

设，则．

              再设平面的一个法向量为，

因为，，所以，即

设，则．

              故．

由图知，二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为． …………14分

18. （本小题满分13分）

解：（ⅰ）.. …………3分

（ⅱ）设，.

当时，，则函数为减函数.

又因为，,

所以有且只有一个，使成立.

所以函数在区间内有且只有一个零点.即方程在区间内有且只有一个实数根. ……………7分

（ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.

因为当时，函数为减函数，所以在上，，即成立，函数为增函数；

在上， ，即成立，函数为减函数,

则函数在处取得极大值.

当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在 两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.

由于，显然.

若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，

则只需满足：

即

解得. ……………13分

19. （本小题满分14分）

解：（ⅰ）  ……………2分

（ⅱ）设.由，得，则过点的切线的斜率为.

则过点的切线方程为.令，得，即.又点为抛物线上除顶点外的动点，，则.而由已知得，则.

又，即与不重合，

即. …………6分

（ⅲ）由(ⅱ)问，直线的方程为，.直线的方程为，.设和交点的坐标为则

由（1）式得，（由于不与原点重合，故）.代入（2），化简得.又，化简得, （）.

即点在以为圆心，1为半径的圆上.（原点与除外）

即. …………14分

20. （本小题满分13分）

解：（ⅰ）； ………… 3分

（ⅱ）形如和式共有项，所以.

对于集合中的和式，：

当时，时，；

当时，不妨设，则.

所以的值两两不同.

且. ………… 8分

（ⅲ）不妨设，可得

.

中至少有个不同的数.

即.

设成等差数列，，

则对于每个和式，其值等于（）或

中的一个.去掉重复的一个,

所以对于这样的集合,.

则的最小值为. ……………13分